Question

如圖所示，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，SA⊥平面ABCD，且AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AD=2，AB=AS=．

（Ⅰ）求證：SB⊥BC；

（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面SBC的距離；

（Ⅲ）求面SAB與面SCD所成二面角的大�。�

 

 

Answer 1

【解析】

試題分析：

（Ⅰ）由線面垂直得SA⊥BC，從而得到BC⊥平面SAB，由此能證明SB⊥BC．

（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)A到平面SBC的距離．

（Ⅲ）求出平面SAD的法向量和平面SAB的法向量利用向量法能求出面SAB與面SCD所成二面角的大小．

試題解析：（Ⅰ）證明：∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，

又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，

又SB?平面SAB，∴SB⊥BC．

（Ⅱ）【解析】
以A為原點(diǎn)，以AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

由已知得S（0，0，），A（0，0，0），

B（0，，0），C（2，，0），D（0，0，1），

，

設(shè)平面SBC的法向量，

則，取y=1，得，

，

∴點(diǎn)A到平面SBC的距離d==．

（Ⅲ）【解析】
=（1，0，），，

設(shè)平面SAD的法向量，

則，令c=1，得，

又平面SAB的法向量，

∴cos＜＞=，

∴面SAB與面SCD所成二面角的大小為45°．

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面所成的角．