Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，ABCD是梯形，BC∥AD，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，△ABE，△BEC，△ECD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形．
（1）求證：AP∥平面EFB；
（2）若PA=PD，二面角F-EB-C的大小為

π

3

，求點(diǎn)F到平面PAD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連AC交EB與O，連OF，由已知條件得ABCE為平行四邊形，從而OF∥AP，由此能證明AP∥平面EFB．
（2）取BC中點(diǎn)G，以E為原點(diǎn)，EA為x軸，EG為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，由已知條件求出

EF

=（-

1

4

，

3

4

，

3

4

），再由平面PAD的法向量

p

=（0，1，0），利用向量法能求出點(diǎn)F到平面PAD的距離．

解答： （1）證明：連AC交EB與O，連OF，
∵ABCD是梯形，BC∥AD，
E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，
△ABE，△BEC，△ECD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴AE

∥

.

BC，∴ABCE為平行四邊形，
∴O為AC中點(diǎn)，
∴在△APC中，OF∥AP，
又∵OF?平面EFB，AP?平面EFB，
∴AP∥平面EFB．
（2）解：取BC中點(diǎn)G，以E為原點(diǎn)，EA為x軸，
EG為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
E（0，0，0），B（

1

2

，

3

2

，0），
C（-

1

2

，

3

2

，0），設(shè)P（0，0，t），（t＞0），則F（-

1

4

，

3

4

，

t

2

），

EF

=（-

1

4

，

3

4

，

t

2

），

EB

=（

1

2

，

3

2

，0），
設(shè)平面BEF的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • EF =- 1 4 x+ 3 4 y+ t 2 z=0 n • EB = 1 2 x+ 3 2 y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，-1，

3

t

），
又平面BEC的法向量

m

=（0，0，1），二面角F-EB-C的大小為

π

3

，
∴cos

π

3

=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

3 t

4+ 3 t2

|=

1

2

，
由t＞0，解得t=

3

2

．∴

EF

=（-

1

4

，

3

4

，

3

4

），
又平面PAD的法向量

p

=（0，1，0），
∴點(diǎn)F到平面PAD的距離d=

| p • EF |

| p |

=

3 4

1

=

3

4

．
故點(diǎn)F到平面PAD的距離為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用．