Question

10．已知點(diǎn)M（1，2），N（3，2），點(diǎn)F是直線l：y=x-3上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠MFN最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)M，N，F(xiàn)的圓的方程是（x-2）²+（y-1）²=2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為C（2，a），當(dāng)∠MFN最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)M，N，F(xiàn)的圓與直線y=x-2相切，由此可確定出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為C（2，a），當(dāng)∠MFN最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)M，N，F(xiàn)的圓與直線y=x-2相切．
∴$\sqrt{（2-1）^{2}+（a-2）^{2}}$=$\frac{|2-a-3|}{\sqrt{2}}$，
∴a=1或9，
a=1時(shí)，r=$\sqrt{2}$，∠MCN=90°，∠MFN=45°，
a=9時(shí)，r=5$\sqrt{2}$，∠MCN＜90°，∠MFN＜45°，
則所求圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=2．
故答案為（x-2）²+（y-1）²=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，直線與圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題