Question

8．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，點F是棱BC中點，點E在棱CC₁上，且EF⊥AB₁．
（Ⅰ）求證：CC₁=4CE；
（Ⅱ）求二面角F-AE-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法1：設(shè)G為B₁C₁的中點，以FB，AF，F(xiàn)G所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz．設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為2，求出F相關(guān)點的坐標(biāo)，設(shè)E=（-1，0，a），利用AB₁⊥FE，求出a，即可證明CC₁=4CE．
方法2：連接B₁F，推出AF⊥BCAF⊥EF．EF⊥AB₁，得到EF⊥平面B₁AF，B₁F⊥EF，通過證明△B₁BF∽△FCE，證明CC₁=BC=2FC=4CE．
（Ⅱ）求出平面AEF的法向量，平面AEC₁的一個法向量利用向量的數(shù)量積求解二面角F-AE-C₁的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明（方法1）：設(shè)G為B₁C₁的中點，則FG⊥BC，從而FG⊥AF，分別以FB，AF，F(xiàn)G所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz．
設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為2，則F（0，0，0），$A\;（0，\;\;-\sqrt{3}，\;\;0）$，B₁（1，0，2），$\overrightarrow{A{B_1}}\;=（1，\;\sqrt{3}，\;\;2）$，設(shè)E=（-1，0，a），$\overrightarrow{FE}\;=（-1，\;0，\;\;a）$．
因為AB₁⊥FE，所以$\overrightarrow{FE}\;•\overrightarrow{A{B_1}}\;=0$，$a=\frac{1}{2}$，所以CC₁=4CE．…（6分）
證明（方法2）：如圖，連接B₁F，由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC⊥側(cè)面BB₁C₁C，F(xiàn)為BC中點，所以AF⊥BC，
所以AF⊥側(cè)面BB₁C₁C，則AF⊥EF．因為EF⊥AB₁，
所以EF⊥平面B₁AF，B₁F⊥EF，$∠{B_1}FB+∠EFC=\frac{π}{2}$，$∠{B_1}FB+∠B{B_1}F=\frac{π}{2}$，所以∠EFC=∠BB₁F，所以△B₁BF∽△FCE，$\frac{FC}{CE}=\frac{{B{B_1}}}{BF}=2$，CC₁=BC=2FC=4CE．…（6分）
（Ⅱ）解：設(shè)G為B₁C₁的中點，則FG⊥BC，從而FG⊥AF，分別以FB，AF，F(xiàn)G所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz．
設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為2，則F（0，0，0），$A\;（0，\;\;-\sqrt{3}，\;\;0）$，B₁（1，0，2），$\overrightarrow{A{B_1}}\;=（1，\;\sqrt{3}，\;\;2）$，設(shè)E=（-1，0，a），$\overrightarrow{FE}\;=（-1，\;0，\;\;a）$．
$\overrightarrow{FA}\;=（0，\;\;-\sqrt{3}，\;\;0）$，$\overrightarrow{FE}\;=（-1，\;0，\;\;\frac{1}{2}）$，設(shè)平面AEF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{m}=-\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{FE}•\overrightarrow{m}=-x+\frac{z}{2}=0}\end{array}\right.$，可得平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，2），同理可得平面AEC₁的一個法向量為：$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{15}}{10}$．
經(jīng)觀察二面角F-AE-C₁為鈍二面角，所以二面角F-AE-C₁的余弦值為$-\frac{\sqrt{15}}{10}$．…（12分）

點評 本題考查二面角的平面鏡的求法，空間向量的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．