Question

6．等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=3，前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}的通項公式為${b_n}={8^{n-1}}$且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}$．

Answer 1

分析 （1）利用兩個等式得到關于公差d是方程組解之；
（2）利用（1）的結論得到前n項和為S_n，利用裂項相消求和．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），則由題意，b₁=1，b₂=8，b₃=64，所以$\left\{\begin{array}{l}{8（6+d）=64}\\{64（9+3d）=640}\end{array}\right.$解得：d=2，∴a_n=2n+1；
（2）由（1）可得：${S_n}={n^2}+2n$
∴$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式以及裂項相消法求數(shù)列的和；比較基礎．