Question

1．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CC₁=2CB，∠ACB=90°，則直線BC₁與AB₁夾角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量的夾角公式即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨取BC=1，則CA=CC₁=2CB=2．
C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，1，0），B₁（0，1，2），C₁（0，0，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，1，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，2），
∴cos$＜\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}||\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{-1+4}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+（-2）^{2}}\sqrt{0+（-1）^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量夾角公式、異面直線所成的角、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．