Question

2．設(shè)整數(shù)n≥3，集合P={1，2，…，n}，A，B是P的兩個(gè)非空子集．則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對（A，B）的個(gè)數(shù)為：（n-2）•2^n-1+1．

Answer 1

分析 設(shè)A中的最大數(shù)為k，其中1≤k≤n-1，整數(shù)n≥3，則A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B中，但不能都不在B中．由此能求出a_n．

解答 解：設(shè)A中的最大數(shù)為k，其中1≤k≤n-1，整數(shù)n≥3，
則A中必含元素k，另元素1，2，…，k-1，可在A中，
故A的個(gè)數(shù)為：${C}_{k-1}^{0}$+${C}_{k-1}^{1}$+…+${C}_{k-1}^{k-1}$=2^k-1，
B中必不含元素1，2，…，k，
另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，
故B的個(gè)數(shù)為：${C}_{n-k}^{1}$+${C}_{n-k}^{2}$+…+${C}_{n-k}^{n-k}$=2^n-k-1，
從而集合對（A，B）的個(gè)數(shù)為2^k-1•（2^n-k-1）=2^n-1-2^k-1，
∴a_n=$\sum_{k=1}^{n-1}$（2^n-1-2^k-1）
=（n-1）•2^n-1-$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$
=（n-2）•2^n-1+1．
故答案為：（n-2）•2^n-1+1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的第3項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．