Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0
（Ⅰ）若f（x）的最小值為-1，求a的值；
（Ⅱ）求y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）配方求出最小值即可得出；-1=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，a²=8，所以a=±2$\sqrt{2}$，
（Ⅱ）分類(lèi)求解：a＞0時(shí)，最大值=|f（a）|=2a²+1；當(dāng)|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|≤1，即-2$\sqrt{2}$≤a≤0時(shí)，|f（x）|_max=|f（0）|=1；當(dāng)|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|＞1，即a＜-2$\sqrt{2}$時(shí)，|f（x）|_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0．
∴f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，其中a∈R，且a≠0．
∴若f（x）的最小值為-1=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，a²=8，所以a=±2$\sqrt{2}$，
（Ⅱ）①當(dāng)a＞0時(shí)，y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上單調(diào)遞增，最大值=|f（a）|=2a²+1；
②當(dāng)a＜0時(shí)，f（0）=f（|a|）=1，f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當(dāng)|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|≤1，即-2$\sqrt{2}$≤a≤0 時(shí)，|f（x）|_max=|f（0）|=1，
當(dāng)|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|＞1，即a＜-2$\sqrt{2}$時(shí)，|f（x）|_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，
故y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上的最大值，|f（x）|_max=$\left\{\begin{array}{l}{{2a}^{2}+1，a＞0}\\{1，-2\sqrt{2}≤a≤0}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-1，a＜-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式，函數(shù)的最值問(wèn)題，分類(lèi)較多．