Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，$AP=1，AD=\sqrt{3}$，面PAB⊥面ABCD，PA⊥AB，E為PD的中點．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）若底面ABCD為矩形，三棱椎P-ABD的體積$V=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求二面角P-BC-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）設AC與BD交于點O，連接OE，利用中位線定理得出OE∥PB，故而PB∥平面ACE；
（2）先證明BC⊥平面PAB，得出∠PBA為所求角，根據體積計算AB得出tan∠PBA．

解答 （1）證明：設AC與BD交于點O，連接OE，
∵ABCD是平行四邊形，
∴O是BD中點，又E是PD的中點，
∴OE∥PB，
∵OE?平面AEC，PB?平面ACE，
∴PB∥平面AEC．
（2）解：∵面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，PA⊥AB，
∴PA⊥面ABCD，∵BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC
∵底面ABCD為矩形，∴AB⊥BC，
又PA?平面PAB，AB?平面PAB，AB∩PA=A，
∴BC⊥面PAB，∵PB?平面PAB，
∴PB⊥BC，
∴∠PBA即為二面角P-BC-A的平面角，
∴三棱椎 P-ABD的體積$V=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB×AD×AP=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，解得$AB=\frac{3}{2}$，
∴$tan∠PBA=\frac{PA}{AB}=\frac{1}{{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{3}$
所以二面角P-BC-A的正切值為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質，空間角的計算，屬于中檔題．