Question

19．已知F₂為橢圓mx²+y²=4m（0＜m＜1）的右焦點，點A（0，2），點P為橢圓上任意一點，且|PA|-|PF₂|的最小值為$-\frac{4}{3}$，則m=$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由橢圓的定義和三點共線取得最小值，可得$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a=-$\frac{4}{3}$，橢圓mx²+y²=4m可化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4m}=1$，∴a=2，c=$\sqrt{4-4m}$，進而得到關于m的方程，解方程可得m的值．

解答 解：設F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|，
即|PF₂|=2a-|PF₁|，
則|PA|-|PF₂|=|PA|-（2a-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-2a，
≥|AF₁|-2a=$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a，
當A，P，F(xiàn)₁共線時，|PA|+|PF₁|取得最小值$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a，
∵|PA|-|PF₂|的最小值為$-\frac{4}{3}$，∴$\sqrt{{c}^{2}+4}$-2a=-$\frac{4}{3}$，
橢圓mx²+y²=4m可化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4m}=1$，∴a=2，c=$\sqrt{4-4m}$，
∴$\sqrt{8-4m}$=$\frac{8}{3}$，
∴m=$\frac{2}{9}$．
故答案為：$\frac{2}{9}$．

點評 本題考查橢圓方程與性質，注意運用橢圓的定義和三點共線取得最小值是關鍵．