Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax³+blnx在點(diǎn)（1，0）處的切線的斜率為1．
（1）求a，b的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t使函數(shù)F（x）=f（x）+lnx的圖象恒在函數(shù)g（x）=$\frac{t}{x}$的圖象的上方，若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得切線的斜率，解方程可得a=0，b=1；
（2）求出F（x）的解析式，假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，即有2lnx＞$\frac{t}{x}$，即t＜2xlnx恒成立，設(shè)g（x）=2xlnx，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間，可得極小值，也為最小值，由恒成立思想可得t的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+blnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+$\frac{x}$，
由題意可得f′（1）=3a+b=1，f（1）=a=0，
解得a=0，b=1；
（2）F（x）=f（x）+lnx=2lnx，假設(shè)存在實(shí)數(shù)t使函數(shù)F（x）的圖象
恒在函數(shù)g（x）=$\frac{t}{x}$的圖象的上方，即為
2lnx＞$\frac{t}{x}$，即t＜2xlnx恒成立，
設(shè)g（x）=2xlnx，g′（x）=2（lnx+1），
當(dāng)x＞$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{e}$時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減．
可得g（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，且為最小值-$\frac{2}{e}$，
可得t＜-$\frac{2}{e}$，則存在實(shí)數(shù)t∈（-∞，-$\frac{2}{e}$），使函數(shù)F（x）的圖象
恒在函數(shù)g（x）=$\frac{t}{x}$的圖象的上方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．