Question

5．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=x²-2x；
（2）f（x）=x³+$\frac{1}{x}$；
（3）f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$；
（4）f（x）=2-|x|；
（5）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-{x}^{2}-2x-3（x＜0）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x；
∴f（1）=-1，f（-1）=1+2=3，
則f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）f（x）=x³+$\frac{1}{x}$的定義域為{x|x≠0}；
則f（-x）=-x³-$\frac{1}{x}$=-（x³+$\frac{1}{x}$）=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{{x}^{2}-1≥0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}≤1}\\{{x}^{2}≥1}\end{array}\right.$，得x²=1，x=±1，即函數(shù)的定義域為{-1，1}，
此時f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=0，則函數(shù)f（x）為既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)；
（4）f（x）=2-|x|；則f（-x）=2-|x|=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（5）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-{x}^{2}-2x-3（x＜0）}\end{array}\right.$．
當(dāng)x＞0，則-x＜0，則f（-x）=-x²+2x-3=-（x²-2x+3）=-f（x），
當(dāng)x＜0，則-x＞0，則f（-x）=x²+2x+3=-（-x²-2x-3）=-f（x），
綜上f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．注意函數(shù)定義域的對稱性．