Question

7．圓C經(jīng)過直線x+y-1=0與x²+y²=4的交點，且圓C的圓心為（-2，-2），則過點（2，4）向圓C作切線，所得切線方程為（　�。�

• A． 5x-12y+38=0或3x-4y+10=0
• B． 12x-5y+4=0或3x-4y+10=0
• C． 5x-12y+38=0或x=2
• D． 3x-4y+10=0或x=2

Answer 1

分析 設(shè)所求圓的方程為：（x²+y²-4）+a（x+y-1）=0即x²+y²+ax+ay-4-a=0，由圓心為（-2，-2）求出a的值，即可求出圓的半徑，然后討論：當(dāng)過點（2，4）的直線斜率不存在時，方程是x=2，通過驗證圓心到直線的距離，得到x=2符合題意；當(dāng)過點（2，4）的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y-4=k（x-2），根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑4，建立關(guān)于k的方程，解之得k，進而得到直線的方程．最后綜合可得答案．

解答 解：設(shè)所求圓的方程為：（x²+y²-4）+a（x+y-1）=0即x²+y²+ax+ay-4-a=0，
∵圓心為（-2，-2），
∴a=4．
∴圓的方程為x²+y²+4x+4y-8=0，即（x+2）²+（y+2）²=16．
則圓心為：（-2，-2），半徑為4．
（1）當(dāng)過點（2，4）的直線垂直于x軸時，
此時直線斜率不存在，方程是x=2，
∵圓心（-2，-2）到直線的距離為d=4=r，
∴直線x=2符合題意；
（2）當(dāng)過點（2，4）的直線不垂直于x軸時，設(shè)直線方程為y-4=k（x-2）
即kx-y-2k+4=0，
由點到直線的距離公式可得：$\frac{|-2k+2-2k+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=4$，
解得：k=$\frac{5}{12}$．
∴切線方程為：5x-12y+38=0．
綜上切線方程為：5x-12y+38=0或x=2．
故選：C．

點評 本題考查圓的切線方程，考查了求過圓外一個定點的圓的切線方程的問題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式等知識點，屬于中檔題．