Question

18．某次數(shù)學小測驗中（滿分100分），某班50名學生得分如下面的頻率分布直方圖所示：
（1）求該班本次小測驗數(shù)學成績的平均分和中位數(shù)；
（2）已知數(shù)學老師采用分層抽樣的方法在70分以上（含70分）的同學中抽取9人組成一個學習小組，再從9人中選出3人擔任組長，求組長中得分在90分以上（含90分）的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖，能求出該班本次小測驗數(shù)學成績的平均分和中位數(shù)．
（2）由已知得[70，80）中抽取2人，[80，90）中抽取4人，[90，100）中抽取3人，由此得到X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得：
該班本次小測驗數(shù)學成績的平均分：
$\overline{x}$=（55×0.002+65×0.008+75×0.02+85×0.04+95×0.03）×10=83.8．
∵[50，80）的頻率為：（0.002+0.008+0.02）×10=0.3，
[80，90）的頻率為0.04×10=0.4，
該班本次小測驗數(shù)學成績的中位數(shù)為：80+$\frac{0.5-0.3}{0.4}×10$=85．
（2）∵數(shù)學老師采用分層抽樣的方法在70分以上（含70分）的同學中抽取9人組成一個學習小組，
[70，80）的頻率為0.02×10=0.2，
[80，90）的頻率為0.04×10=0.4，
[90，100）的頻率為0.03×10=0.3，
∴[70，80）中抽取2人，[80，90）中抽取4人，[90，100）中抽取3人，
由此得到X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

E（X）=$0×\frac{5}{21}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{14}+3×\frac{1}{84}$=1．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．