如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D是B的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE．
考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用
專題：證明題,平面向量及應(yīng)用
分析：由題意，表示出
AD
，
CE
，再由數(shù)量積可得
AD
•
CE
=（
1
2
CB
-
CA
）•（
2
3
CB
+
1
3
CA
）=
1
3
CB
2-
2
3
CB
•
CA
+
1
6
CB
•
CA
-
1
3
CA
2；從而判斷垂直．
解答： 證明：∵在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，
∴
2
|AC|=
2
|BC|=|AB|，
AD
=
CD
-
CA
=
1
2
CB
-
CA
；
CE
=
CA
+
AE

=
CA
+
2
3
AB

=
CA
+
2
3
（
CB
-
CA
）
=
2
3
CB
+
1
3
CA
；
故
AD
•
CE
=（
1
2
CB
-
CA
）•（
2
3
CB
+
1
3
CA
）
=
1
3
CB
2-
2
3
CB
•
CA
+
1
6
CB
•
CA
-
1
3
CA
2；
∵CB⊥CA，
∴
CB
•
CA
=0；
故
1
3
CB
2-
2
3
CB
•
CA
+
1
6
CB
•
CA
-
1
3
CA
2
=
1
3
CB
2-
1
3
CA
2
=0；
故AD⊥CE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量在判斷平面位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a≤
1-x
x
+lnx，對(duì)任意x∈[
1
2
，2]恒成立，則a的最大值
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知公差大于零的等差數(shù)列{an}，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}，滿足a1=1，b1=2，a4=b2，a8=b3 求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，M，N分別為四邊形ABCD的對(duì)角線BD，AC中點(diǎn)，
AB
=
a
，
CD
=
b
，用
a
表示
b
表示
MN
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=2x+3，則f（1）=
 
，f（a）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

與圓C1：（x+3）2+y2=1，圓C2：（x-3）2+y2=9同時(shí)外切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過點(diǎn)P（2，1）的直線與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，求直線AB的方程；
（2）求點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l經(jīng)過拋物線y2=-
4
3
x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交與A，B兩點(diǎn)，證明以A，B為直徑的圓與拋物線的焦點(diǎn)相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P在橢圓
x2
9
+
y2
5
=1上，且點(diǎn)P不在x軸上，A，B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)C，直線BC，PB的斜率分別為kBC，kPB，則kBC2+kPB2的最小值為
 
．

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