如圖,正三棱柱的底面邊長是,側(cè)棱長是,的中點(diǎn).

(1)求證:∥平面
(2)求二面角的大;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使得平面平面,若存在,求出的長;若不存在,說明理由.

(1)詳見解析,(2),(3).

解析試題分析:(1)線面平行判定定理,關(guān)鍵找線線平行.利用三角形中位線性質(zhì)找平行,取的中點(diǎn),則是三角形的中位線,即.應(yīng)用定理證明時(shí),需寫出定理所需條件.(2)利用空間向量求二面角的大小,關(guān)鍵求出平面的法向量.平面的一個(gè)法向量為,而平面的法向量則需列方程組解出.根據(jù)向量的數(shù)量積求出兩向量夾角,再根據(jù)向量夾角與二面角的大小關(guān)系,求出結(jié)果.一般根據(jù)圖像判定所求二面角是銳角還是鈍角.(3)存在性問題,從假定存在出發(fā),利用面面垂直列等量關(guān)系.在(2)中已求出平面的法向量,因此只需用點(diǎn)坐標(biāo)表示平面的法向量即可.解題結(jié)果需注意點(diǎn)在線段上這一限制條件.
試題解析:

(1)證明:連結(jié),連結(jié),
因?yàn)槿庵?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ef/e/6zmk2.png" style="vertical-align:middle;" />是正三棱柱,
所以四邊形是矩形,
所以的中點(diǎn).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/64/2/1eawp2.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn),
所以是三角形的中位線,             2分
所以.                           3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/61/5/ulxut.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面,
所以∥平面.                      4分

(2)解:作,所以平面,
所以在正三棱柱中如圖建立空間直角坐標(biāo)系
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/af/b/hm8al.png" style="vertical-align:middle;" />,的中點(diǎn).
所以,,, 5分
所以,

設(shè)是平面的法向量,
所以
,則,
所以是平面的一個(gè)法向量.             6分
由題意可知是平面

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,直三棱柱中,,
中點(diǎn),上一點(diǎn),且.
(1)當(dāng)時(shí),求證:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求的值.

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如圖所示,正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD=2,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),

(1).求證:D1E⊥A1D;
(2).在線段AB上是否存在點(diǎn)M,使二面角D1-MC-D的大小為?,若存在,求出AM的長,若不存在,說明理由

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如圖一,平面四邊形關(guān)于直線對稱,.把沿折起(如圖二),使二面角的余弦值等于.對于圖二,完成以下各小題:

(1)求兩點(diǎn)間的距離;
(2)證明:平面
(3)求直線與平面所成角的正弦值.

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如圖,在四棱錐中,底面是矩形,,是棱的中點(diǎn).

(1)求證:平面;
(2)求證:平面;
(3)在棱上是否存在一點(diǎn),使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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在直三棱柱中,,,求:

(1)異面直線所成角的余弦值;
(2)直線到平面的距離.

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如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E、F分別在線段上,B1E=3EC1,AC=BC=CC1=4.

(1)求證:BC⊥AC1
(2)試探究:在AC上是否存在點(diǎn)F,滿足EF//平面A1ABB1,若存在,請指出點(diǎn)F的位置,并給出證明;若不存在,說明理由.

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在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是菱形.求證:平面B1AC∥平面DC1A1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,點(diǎn)C是以AB為直徑的圓上的一點(diǎn),直角梯形BCDE所在平面與圓O所在平面垂直,且DEBC,DCBCDEBC.

(1)證明:EO∥平面ACD;
(2)證明:平面ACD⊥平面BCDE.

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