Question

4．已知f（x）是定義在R上的不恒等于0的偶函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），則$f（\frac{9}{2}）$的值為（　�。�

• A． 1
• B． 0
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 從xf（x+1）=（1+x）f（x）結(jié)構(gòu)來(lái)看，要用遞推的方法，先用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，再由依此求解．

解答 解：由xf（x+1）=（1+x）f（x），
令x=-$\frac{1}{2}$，得-$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（-$\frac{1}{2}$），
即-f（$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），
又∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（$\frac{1}{2}$）=0，
則$\frac{1}{2}$f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$f（$\frac{1}{2}$），
所以f（$\frac{3}{2}$）=0，以此類推，可得f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=…=f（$\frac{9}{2}$）=0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的計(jì)算，以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．