【題目】如圖,已知多面體的底面是邊長為的菱形, 底面 ,且

1證明:平面平面;

2若直線與平面所成的角為求二面角

的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)連接 ,交 于點,設中點為,連接, ,先根據(jù)三角形中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)可得,再證明平面,從而可得平面,進而可得平面平面;(2)為原點, , 分別為軸,建立空間直角坐標系,分別求出平面與平面的一個法向量,根據(jù)空間向量夾角余弦公式,可得結(jié)果

試題解析:(1證明:連接于點,設中點為連接,

因為 分別為, 的中點,

所以,

因為,

所以,

所以四邊形為平行四邊形,所以

因為平面, 平面,所以

因為是菱形,所以

因為所以平面

因為,所以平面

因為平面,所以平面平面

(2)解法:因為直線與平面所成角為,

所以,所以

所以 ,故為等邊三角形.

的中點為,連接,則

為原點, , , 分別為軸,建立空間直角坐標系(如圖).

, , ,

設平面的法向量為,

所以

設平面的法向量為

所以

設二面角的大小為,由于為鈍角,

所以

所以二面角的余弦值為

【方法點晴】本題主要考查線面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】臍橙營養(yǎng)豐富,含有人體所必需的各類營養(yǎng)成份,若規(guī)定單個臍橙重量(單位:千克)在[0.1,0.3)的臍橙是“普通果”,重量在[0.30.5)的磨橙是“精品果”,重量在[0.5,0.7]的臍橙是“特級果”,有一果農(nóng)今年種植臍橙,大獲豐收為了了解臍橙的品質(zhì),隨機摘取100個臍橙進行檢測,其重量分別在[0.1,0.2),[0.2,0.3),[0.3,0.4),[0.40.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7]中,經(jīng)統(tǒng)計得到如圖所示頻率分布直方圖

1)將頻率視為概率,用樣本估計總體.現(xiàn)有一名消費者從臍橙果園中,隨機摘取5個臍橙,求恰有3個是“精品果”的概率.

2)現(xiàn)從摘取的100個臍橙中,采用分層抽樣的方式從重量為[0.4,0.5),[0.5,0.6)的臍橙中隨機抽取10個,再從這10個抽取3個,記隨機變量X表示重量在[0.50.6)內(nèi)的臍橙個數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】給出下列四種說法:

1)函數(shù)與函數(shù)的定義域相同;

2)函數(shù)的值域相同;

3)若函數(shù)式定義在R上的偶函數(shù)且在為減函數(shù)對于銳角;

4)若函數(shù),

其中正確說法的序號是________.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx)=x,gx)=x4,則下列結(jié)論正確的是(

A.hx)=fxgx),則函數(shù)hx)的最小值為4

B.hx)=fx|gx|,則函數(shù)hx)的值域為R

C.hx)=|fx||gx|,則函數(shù)hx)有且僅有一個零點

D.hx)=|fx||gx|,則|hx|4恒成立

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為:為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線的直角坐標方程為.

(l)求曲線和直線的極坐標方程;

(2)已知直線分別與曲線、曲線交異于極點的,若的極徑分別為,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為回饋顧客,新華都購物商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵,規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球(球的大小、形狀一模一樣),球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.

(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為40元,其余3個所標的面值均為20元,求顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望;

(2)商場對獎勵總額的預算是30000元,并規(guī)定袋中的4個球由標有面值為20元和40元的兩種球共同組成,或標有面值為15元和45元的兩種球共同組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡.請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計,并說明理由.

提示:袋中的4個球由標有面值為a元和b元的兩種球共同組成,即袋中的4個球所標的面值既有a元又有b

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD是邊長為a的正方形,且PD=a.

(1)求四棱錐P﹣ABCD的體積;

(2)若E為PC中點,求證:PA平面BDE;

(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正切值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某房產(chǎn)中介公司201791日正式開業(yè),現(xiàn)對其每個月的二手房成交量進行統(tǒng)計,表示開業(yè)第個月的二手房成交量,得到統(tǒng)計表格如下:

(1)統(tǒng)計中常用相關(guān)系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關(guān)系的強弱.統(tǒng)計學認為,對于變量,如果,那么相關(guān)性很強;如果,那么相關(guān)性一般;如果,那么相關(guān)性較弱.通過散點圖初步分析可用線性回歸模型擬合的關(guān)系.計算的相關(guān)系數(shù),并回答是否可以認為兩個變量具有很強的線性相關(guān)關(guān)系(計算結(jié)果精確到0.01)

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程(計算結(jié)果精確到0.01),并預測該房產(chǎn)中介公司20186月份的二手房成交量(計算結(jié)果四舍五入取整數(shù)).

(3)該房產(chǎn)中介為增加業(yè)績,決定針對二手房成交客戶開展抽獎活動.若抽中“一等獎”獲6千元獎金;抽中“二等獎”獲3千元獎金;抽中“祝您平安”,則沒有獎金.已知一次抽獎活動中獲得“一等獎”的概率為,獲得“二等獎”的概率為,現(xiàn)有甲、乙兩個客戶參與抽獎活動,假設他們是否中獎相互獨立,求此二人所獲獎金總額(千元)的分布列及數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù):,,.

參考公式:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】若函數(shù)的定義域為,滿足對任意,有.則稱為“形函數(shù)”;若函數(shù)定義域為,恒大于0,且對任意,恒有,則稱為“對數(shù)形函數(shù)”.

1)當時,判斷是否是“形函數(shù)”,并說明理由;

2)當時,判斷是否是“對數(shù)形函數(shù)”,并說明理由;

3)若函數(shù)形函數(shù),且滿足對任意都有,問是否是“對數(shù)形函數(shù)”?請加以證明,如果不是,請說明理由.

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