Question

20．下列命題中正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2
• B． 當(dāng)x＞0時(shí)，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2
• C． 當(dāng)0＜θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)，sinθ+$\frac{2}{sinθ}$的最小值為2$\sqrt{2}$
• D． 當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$有最大值-2

Answer 1

分析 由0＜x＜1，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷A錯(cuò)；
運(yùn)用基本不等式可得B正確；
當(dāng)0＜θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)，令t=sinθ（0＜t≤1），求t+$\frac{2}{t}$的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性即可判斷C；
當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤x＜0時(shí)，求出x+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可判斷D．

解答 解：對(duì)于A，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lgx＜0，可得lgx+$\frac{1}{lgx}$＜0，故A不對(duì)；
對(duì)于B，當(dāng)x＞0時(shí)，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\sqrt{x}•\frac{1}{\sqrt{x}}}$=2，當(dāng)x=1時(shí)取得等號(hào)，故B對(duì)；
對(duì)于C，當(dāng)0＜θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)，令t=sinθ（0＜t≤1），即有t+$\frac{2}{t}$的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{2}{{t}^{2}}$＜0，
t+$\frac{2}{t}$在（0，1]遞減，可得最小值為3，故C不對(duì)；
對(duì)于D，當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，即x+$\frac{1}{x}$在[-$\frac{1}{2}$，0）遞減，
可得最大值為-$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{5}{2}$，故D不對(duì)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用，同時(shí)考查單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．