Question

13．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+$\sqrt{2}$與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由已知得a和c的值，進(jìn)而求得b，則雙曲線方程可得；
（2）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式和韋達(dá)定理求得k的范圍即可．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
由已知得：a=$\sqrt{3}$，c=2，再由a²+b²=c²，∴b²=1，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
將y=kx+$\sqrt{2}$代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，
得（1-3k²）x²-6$\sqrt{2}$kx-9=0．
由題意知$\left\{\begin{array}{l}{△=36（1-{k}^{2}）＞0}\\{{x}_{A}+{x}_{B}=\frac{6\sqrt{2}k}{1-3{k}^{2}}＜0}\\{{x}_{A}{x}_{B}=\frac{-9}{1-3{k}^{2}}＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜1．
∴當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜1時(shí)，l與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與雙曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和運(yùn)算的能力，是中檔題．