【題目】已知函數(shù).
(1)當時,判斷在上的單調(diào)性并證明;
(2)若對任意,不等式恒成立,求的取值范圍;
(3)討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1) 在上的單調(diào)遞減, 證明見解析 ;(2) ; (3) 見解析.
【解析】
(1) 當時,利用函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷在上的單調(diào)性,并用定義法證明.
(2)利用分離參數(shù)的方法將不等式恒成立,化為,然后求最值即可.
(3) 函數(shù)的零點個數(shù),即方程的實根的個數(shù),可數(shù)形結(jié)合分析得出答案.
(1) 當,時, 在單調(diào)遞減.
證明:任取,
=
由,有,,
所以,即.
則,
所以當時,在上的單調(diào)遞減.
(2) 不等式恒成立,即
所以在上恒成立.
而(當即 時取得等號),所以.
(3)由即,
所以 ,
設作出函數(shù)的圖象,如下.
由圖可知:當或時,有1個零點;
當或或時,有2個零點;
當或時,有3個零點;
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門共有員工60人,為調(diào)查他們的睡眠情況,通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時)
甲部門 | 6 | 7 | 8 | |||
乙部門 | 5.5 | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 |
丙部門 | 5 | 5.5 | 6 | 6.5 | 7 | 8.5 |
(1)求該單位乙部門的員工人數(shù)?
(2)從甲部門和乙部門抽出的員工中,各隨機選取一人,甲部門選出的員工記為A,乙部門選出的員工記為B,假設所有員工睡眠的時間相互獨立,求A的睡眠時間不少于B的睡眠時間的概率;
(3)若將每天睡眠時間不少于7小時視為睡眠充足,現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù),求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校組織由5名學生參加的演講比賽,采用抽簽法決定演講順序,在“學生和都不是第一個出場,不是最后一個出場”的前提下,學生第一個出場的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】在平面直角坐標系中,點在橢圓:上.若點,,且.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設橢圓的焦距為4,,是橢圓上不同的兩點,線段的垂直平分線為直線,且直線不與軸重合.
①若點,直線過點,求直線的方程;
② 若直線過點,且與軸的交點為,求點橫坐標的取值范圍.
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【題目】為了響應全民健身,加大國際體育文化的交流,蘭州市從2011年開始舉辦“蘭州國際馬拉松賽”,為了了解市民健身情況,某課題組跟蹤了蘭州某跑吧群在各屆全程馬拉松比賽中群友的平均成績(單位:小時),具體如下:
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)利用(1)的回歸方程,分析2011年到2015年該跑吧群的成績變化情況,反映市民健身的效果,并預測2016年該跑吧群的比賽平均成績.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:
,.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,D是BC邊上的一點,且AB=14,BD=6,∠ADC=,.
(Ⅰ)求sin∠DAC;
(Ⅱ)求AD的長和△ABC的面積.
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【題目】2017年4月1日,新華通訊社發(fā)布:國務院決定設立河北雄安新區(qū).消息一出,河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內(nèi)外高度關(guān)注的焦點.
(1)為了響應國家號召,北京市某高校立即在所屬的8個學院的教職員工中作了“是否愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問卷調(diào)查,8個學院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:
調(diào)查人數(shù)() | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
愿意整體搬遷人數(shù)() | 8 | 17 | 25 | 31 | 39 | 47 | 55 | 66 |
請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出變量關(guān)于變量的線性回歸方程保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字);若該校共有教職員工2500人,請預測該校愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數(shù);
(2)若該校的8位院長中有5位院長愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū),現(xiàn)該校擬在這8位院長中隨機選取4位院長組成考察團赴雄安新區(qū)進行實地考察,記為考察團中愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)的院長人數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
參考公式及數(shù)據(jù): .
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