Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在兩個極值點，證明：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在單調(diào)遞減.，

當(dāng)時， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）證明見解析.

【解析】分析：(1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導(dǎo)，之后對進行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號，從而求得函數(shù)對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)存在兩個極值點，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個極值點是方程的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.

詳解：（1）的定義域為，.

（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，所以在單調(diào)遞減.

（ii）若，令得，或.

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）由（1）知，存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng).

由于的兩個極值點滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于

，

所以等價于.

設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時，.

所以，即.