Question

13．在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若a=2$\sqrt{3}$，sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，sinBsinC=cos²$\frac{A}{2}$，求∠A、∠B及b、c．

Answer 1

分析 由已知及倍角公式可求sinC=$\frac{1}{2}$，由sinBsinC=cos²$\frac{A}{2}$，可得cosA=sinB-1＜0，可得：A為鈍角，C=$\frac{π}{6}$，從而可求sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合范圍$\frac{π}{3}$＜A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，可得A，B的值，利用正弦定理即可求得b，c的值．

解答 解：∵在△ABC中，sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴sinC=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵sinBsinC=cos²$\frac{A}{2}$，即：$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{1+cosA}{2}$，
∴cosA=sinB-1≤0，
∵A，B為三角形內(nèi)角，若cosA=0，則sinB=1，可得A=B=$\frac{π}{2}$，故錯誤．
∴cosA＜0，可得：A為鈍角，C=$\frac{π}{6}$，
∴cosA=sin（$π-A-\frac{π}{6}$）-1，可得：cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA-1，整理可得：sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵$\frac{π}{3}$＜A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，可得：A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即：A=$\frac{2π}{3}$，
∴B=π-A-C=$\frac{π}{6}$，
∴由正弦定理可得：b=c=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，二倍角公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．