Question

3．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sinA+sinC=psinB且$ac=\frac{1}{4}{b^2}$．若角B為銳角，則p的取值范圍是（　　）

• A． $（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$
• B． $（0，\sqrt{2}）$
• C． $（-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）∪（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 已知第一個等式利用正弦定理化簡，再利用基本不等式變形，將第二個等式代入求出p的范圍，再由B為銳角，得出cosB的范圍，利用余弦定理表示出cosB，整理變形后求出p的范圍，綜上，得出滿足題意p的范圍即可．

解答 解：已知等式sinA+sinC=psinB（p＞0），利用正弦定理化簡得：a+c=pb＞2$\sqrt{ac}$，
把ac=$\frac{1}{4}$b²代入得：a+c=pb＞b，即p＞1，
∵B為銳角，
∴0＜cosB＜1，即0＜$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-2＜1，
∵$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2ac}$-2=$\frac{（a+c）^{2}}{2ac}$-3=2p²-3，
∴0＜2p²-3＜1，
解得：$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜p＜$\sqrt{2}$，
綜上，p的取值范圍為$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜p＜$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運用，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．