Question

1．已知函數(shù)f（x）=|log₂|x-3||，且關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有6個不同的實數(shù)解，若最小實數(shù)解
為-5，則a+b的值為-3．

Answer 1

分析 先作出函數(shù)f（x）=|log2|x-3||的圖象，令t=f（x），那么方程[f（x）]²+af（x）+b=0轉(zhuǎn)化成了t²+at+b=0，因為方程[f（x）]²+af（x）+b=0有6個不同的實數(shù)解，則t²+at+b=0有一個正根和一個零根．最小實數(shù)解為-5，即f（-5）=3，從而得到方程t²+at+b=0的兩個根，利用韋達定理，即可求得a+b的值．

解答 解：先作出函數(shù)f（x）=|log2|x-3||的圖象，
∵關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0有6個不同的實數(shù)解，
令t=f（x），那么方程[f（x）]²+af（x）+b=0轉(zhuǎn)化成了t²+at+b=0，
則方程則t²+at+b=0有一個正根和一個零根
又∵最小實數(shù)解為-5，
∴f（-5）=3，
∴方程t²+at+b=0的兩個根分別為：0，3；
利用韋達定理，a=-3，b=0
所以a+b=-3
故答案為-3．

點評 本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用，同時考查了方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系．屬于中檔偏難的題．