Question

12．函數(shù)f（x）的定義域為D={x|x≠0}，且對于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（3）如果f（4）=3，f（x-2）+f（x+1）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），令x₁=x₂=1，可求f（1）；
（2）由（1）賦值可求f（-1）=0，進而可求f（-1×x）=f（-x）=f（1）+f（x）=f（x），可得f（x）為偶函數(shù)；
（3）由f（4）=3，再由奇偶性和單調(diào)性，即可得到不等式組解得即可．

解答 解：（1）對于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x₂=1，f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
（2）∵f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
則f（-1×x）=f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)，
（3）∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）且f（4）=3，
∴f（x-2）+f（x+1）≤3，即f[（x-2）（x+1）]≤f（4），
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)且f（x）為偶函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）（x+1）＞0}\\{（x-2）（x+1）≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）（x+1）＜0}\\{（x-2）（x+1）≥-4}\end{array}\right.$
解得：-2≤x＜-1或-1＜x＜2或2＜x≤3，
∴x的取值范圍為[-2，-1）∪（-1，2）∪（2，3]．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，以及運用：解不等式，考查運算能力，屬于中檔題．