Question

13．設(shè)函數(shù)$f（x）=2cos（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）$．
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當x∈[0，2π]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的解析式利用誘導公式、余弦函數(shù)的周期性，求得f（x）的周期．
（2）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得當x∈[0，2π]時，函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=2cos（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）=2cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{3}）$，故它的周期為$\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$．
（2）令$2kπ-π≤\frac{x}{2}-\frac{π}{3}≤2kπ$，求得$4kπ-\frac{4π}{3}≤x≤4kπ+\frac{2π}{3}$，故函數(shù)的增區(qū)間為$[4kπ-\frac{4π}{3}，4kπ+\frac{2π}{3}]$，k∈Z．
（3）當x∈[0，2π]時，$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，∴$cos（\frac{x}{2}-\frac{π}{3}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，
故當$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為-1；當$\frac{x}{2}-\frac{π}{3}=0$時，函數(shù)f（x）取得最大值2．

點評 本題主要考查誘導公式、余弦函數(shù)的周期性、余弦函數(shù)的單調(diào)性以及定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．