Question

給出下列四個(gè)命題：
①若x＞0，且x≠1則lgx+

1

lgx

≥2；
②設(shè)x，y∈R，命題“若xy=0，則x²+y²=0”的否命題是真命題；
③函數(shù)y=cos（2x-

π

3

）的一條對(duì)稱軸是直線x=

5

12

π；
④若定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x必有f（2x+1）+f（-2x-1）=0．
其中，所有正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：求出當(dāng)0＜x＜1時(shí)lgx+

1

lgx

的范圍判斷①；判斷原命題的逆命題的真假，從而得到原命題的否命題的真假判斷②；把x=

5

12

π代入函數(shù)y=cos（2x-

π

3

）求得函數(shù)值判斷③；
由奇函數(shù)的概念結(jié)合自變量的任意性判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lgx＜0，則lgx+

1

lgx

≤-2，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，設(shè)x，y∈R，命題“若xy=0，則x²+y²=0”的逆命題為“若x²+y²=0，則xy=0”，為真命題，則其否命題也為真命題，命題②是真命題；
對(duì)于③，∵cos(2×

5π

12

-

π

3

)=cos

π

2

=0，∴函數(shù)y=cos（2x-

π

3

）的一條對(duì)稱軸是直線x=

5

12

π為假命題；
對(duì)于④，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x必有f（x）+f（-x）=0，取x為2x+1，則f（2x+1）+f（-2x-1）=0，命題④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于④的周期理解是解答該題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．