【題目】已知點P是圓F1:(x﹣1)2+y2=8上任意一點,點F2與點F1關(guān)于原點對稱,線段PF2的垂直平分線分別與PF1 , PF2交于M,N兩點.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)過點 的動直線l與點M的軌跡C交于A,B兩點,在y軸上是否存在定點Q,使以AB為直徑的圓恒過這個點?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:由題意得 ,
∴點M的軌跡C為以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓∵ ,
∴點M的軌跡C的方程為 .
(2)直線l的方程可設(shè)為 ,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立 可得9(1+2k2)x2+12kx﹣16=0.
由求根公式化簡整理得 ,
假設(shè)在y軸上是否存在定點Q(0,m),使以AB為直徑的圓恒過這個點,則 即 .
∵ ,
= = = .
∴ 求得m=﹣1.
因此,在y軸上存在定點Q(0,﹣1),使以AB為直徑的圓恒過這個點.
【解析】(1)根據(jù)中垂線的性質(zhì)不難得到動點到兩定點的距離之和為定值,且定值大于這兩定點的距離,可得出動點的運動軌跡為橢圓,結(jié)合已知可得到軌跡方程,(2)將直線l的方程可設(shè)為 y = k x +,設(shè)出A、B兩點的坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,使用韋達定理得出A、B橫坐標(biāo)的和與積,假設(shè)在y軸上存在定點Q(0,m),則表示出 ,,且·=0,可解得定點Q的坐標(biāo).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+nan=(n﹣1)2n+1+2,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若bn= ,Tn=b1+b2+…+bn , 求證:對任意的n∈N* , Tn< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將y=cosx的圖象上的所有點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小到原來的一半,然后再將所得圖象向左平移 個單位長度,則最后所得圖象的解析式為( 。
A.y=cos(2x+ )
B.y=cos( + )
C.y=sin2x
D.y=﹣sin2x
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)衡量,并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如表:
質(zhì)量指標(biāo)值m | m<185 | 185≤m<205 | M≥205 |
等級 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件,檢測后得到如下的頻率分布直方圖:
(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù),能否認為該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占到全部產(chǎn)品的92%的規(guī)定”?
(2)在樣本中,按產(chǎn)品等級用分層抽樣的方法抽取8件,再從這8件產(chǎn)品中隨機抽取4件,求抽取的4件產(chǎn)品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品的質(zhì)量,開展了“質(zhì)量提升月”活動,活動后再抽樣檢測,產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值X近似滿足X~N(218,140),則“質(zhì)量提升月”活動后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動前大約提升了多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,且f(2017)=2016,則f(﹣2017)=( )
A.﹣2014
B.﹣2015
C.﹣2016
D.﹣2017
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國有個名句“運籌帷幄之中,決勝千里之外”.其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌,古代是用算籌來進行計算,算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,如下表:
表示一個多位數(shù)時,像阿拉伯計數(shù)一樣,把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個位,百位,萬位數(shù)用縱式表示,十位,千位,十萬位用橫式表示,以此類推,例如6613用算籌表示就是: ,則算籌式 表示的數(shù)字為 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x﹣2)ex﹣ x2 , 其中a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)
(Ⅰ)函數(shù)f(x)的圖象能否與x軸相切?若能與x軸相切,求實數(shù)a的值;否則,請說明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)+2x在R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a能取到的最大整數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,滿足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5﹣2b2=a3 .
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)令cn=anbn , 設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn , 求Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的個數(shù)是( )
①命題“x0∈R, +1>3x0”的否定是“x∈R,x2+1≤3x”;
②“函數(shù)f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期為π”是“a=1”的必要不充分條件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量a與b的夾角是鈍角”的充要條件是“a·b<0”.
A.1
B.2
C.3
D.4
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