Question

1．用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）=x³+x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)?x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（${{x}_{1}}^{3}$+x₁）-（${{x}_{2}}^{3}$+x₂）
=（${{x}_{1}}^{3}$-${{x}_{2}}^{3}$）+（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）+（${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$）
=（x₁-x₂）（${{x}_{1}}^{2}$+x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$+1）
=（x₁-x₂）[（x₁+$\frac{{x}_{2}}{2}$）²+$\frac{{{3x}_{2}}^{2}}{4}$+1]，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
又（x₁+$\frac{{x}_{2}}{2}$）²≥0，$\frac{{{3x}_{2}}^{2}}{4}$≥0，
∴（x₁+$\frac{{x}_{2}}{2}$）²+$\frac{{{3x}_{2}}^{2}}{4}$+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．