Question

7．已知數(shù)列a_n=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}，n=1}\\{{3^n}，n≥2}\end{array}}$，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)任意的n∈N^*都有T_n•k≥3n-6恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍k≥$\frac{2}{27}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到T_n，分離參數(shù)，設(shè)c_n=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，利用作差確定數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，求出數(shù)列的最大值即可

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，T_n=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{9}{2}$+$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹，
∵對(duì)任意的n∈N^*都有T_n•k≥3n-6恒成立，
∴$\frac{1}{2}$×3ⁿ⁺¹•k≥3n-6，
∴k≥$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，
設(shè)c_n=$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$，
則c_n+1-c_n=$\frac{2（n+1）-4}{{3}^{n+1}}$-$\frac{2n-4}{{3}^{n}}$=$\frac{2（5-2n）}{{3}^{n+1}}$
當(dāng)n≤2時(shí)，c_n+1＞c_n，當(dāng)n≥3時(shí)，c_n+1＜c_n，
∴c_n的最大項(xiàng)是c₃=$\frac{2}{27}$，
∴k≥$\frac{2}{27}$，
故答案為：k≥$\frac{2}{27}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了a_n與T_n的關(guān)系，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的恒成立轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最大項(xiàng)問題，通過作差研究數(shù)列的單調(diào)性也是常用的方法，難度較大，一定要注意n的取值范圍．