Question

17．甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中．則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第-次由甲投籃；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$．
（1）求第三次由乙投籃的概率；
（2）在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ．求ξ的分布列、期望及標準差．

Answer 1

分析 （1）由已知利用互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式能求出第三次由乙投籃的概率．
（2）由題意，ξ的取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列、期望及標準差．

解答 解：（1）∵甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中．則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，
第-次由甲投籃，每次投籃甲、乙命中的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，
∴第三次由乙投籃的概率p=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{13}{18}$．
（2）由題意，ξ的取值為0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{7}{18}$，
P（ξ=2）=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{7}{18}$	$\frac{1}{2}$

期望E（ξ）=$0×\frac{1}{9}+1×\frac{7}{18}+2×\frac{1}{2}$=$\frac{25}{18}$．
方差D（ξ）=（0-$\frac{25}{18}$）²×$\frac{1}{9}$+（1-$\frac{25}{18}$）²×$\frac{7}{18}$+（2-$\frac{25}{18}$）²×$\frac{1}{2}$=$\frac{149}{324}$，
標準差$\sqrt{D（ξ）}$=$\sqrt{\frac{149}{324}}$=$\frac{\sqrt{149}}{18}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望、標準差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．