Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax}{{e}^{x}}$（a∈R）在[4，+∞）上是減函數(shù)，則a的取值范圍為[-8，+∞）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為在[4，+∞）上f′（x）≤0恒成立，利用換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{（6x+a）{e}^{x}-（3{x}^{2}+ax）{e}^{x}}{{（e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-3{x}^{2}-ax+6x+a}{{e}^{x}}$=$\frac{-3{x}^{2}+（6-a）x+a}{{e}^{x}}$，
若f（x）在[4，+∞）上是減函數(shù)，
則f′（x）≤0恒成立，
即-3x²+（6-a）x+a≤0，在[4，+∞）上恒成立，
即-3x²+6x+（1-x）a≤0[4，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{3{x}^{2}-6x}{1-x}$，
令x-1=t，則t≥3，且x=t+1，
則$\frac{3{x}^{2}-6x}{1-x}$=$\frac{3（t+1）^{2}-6（t+1）}{-t}$=$\frac{3{t}^{2}-3}{-t}$=-3t+$\frac{3}{t}$，
則函數(shù)y=3t+$\frac{3}{t}$則t≥3上為減函數(shù)，
∴-3t+$\frac{3}{t}$≤-3×3+1=-8，
則a≥-8，
故答案為：[-8，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．