Question

4．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，若拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)到雙曲線C₁的漸近線的距離為$\sqrt{2}$，則拋物線C₂的方程為（　�。�

• A． y²=2$\sqrt{3}$x
• B． y²=4$\sqrt{3}$x
• C． y²=4x
• D． y²=6x

Answer 1

分析 由題意可得雙曲線的漸近線方程和離心率，可得b=$\sqrt{2}$a，求出漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式可得p=2$\sqrt{3}$，進(jìn)而可得拋物線的方程．

解答 解：由題意可得雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\sqrt{3}$，
解得b=$\sqrt{2}$a，
可得漸近線的方程為y=±$\sqrt{2}$x，
又拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為（$\frac{p}{2}$，0），
則焦點(diǎn)到y(tǒng)=$\sqrt{2}$x的距離d=$\frac{\frac{\sqrt{2}p}{2}}{\sqrt{1+2}}$=$\sqrt{2}$，
解得p=2$\sqrt{3}$．
可得拋物線的方程為y²=4$\sqrt{3}$x．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線與拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及離心率的應(yīng)用和點(diǎn)到直線的距離公式，屬中檔題．