Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+n，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$計(jì)算a_n，利用定義判斷；
（2）求出b_n，使用裂項(xiàng)法求和．

解答 解：（1）n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
顯然當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，
∴a_n=2n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=2n-2（n-1）=2，
∴{a_n}是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列．
（2）b_n=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
∴T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差關(guān)系的判斷，通項(xiàng)公式的求法和裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．