Question

9．如圖，兩圓⊙O，⊙O′內(nèi)切于點(diǎn)T，點(diǎn)P為外圓⊙O上任意一點(diǎn)，PM與內(nèi)圓⊙O′切于點(diǎn)M．求證：PM：PT為定值．

Answer 1

分析 設(shè)⊙O，⊙O′的半徑分別為R，r．作兩圓的公切線TQ，連接OP、O₁M．由切割線定理可得：PN²=PM•PT，由弦切角定理知，∠POT=2∠PTQ，∠MO₁T=2∠PTQ，于是OP∥O₁M，進(jìn)而得出．

解答 證明：設(shè)⊙O，⊙O′的半徑分別為R，r．
作兩圓的公切線TQ，連接OP、O₁M，
由切割線定理得：PN²=PM•PT，$\frac{P{N}^{2}}{P{T}^{2}}$=$\frac{PM}{PT}$，
由弦切角定理知，∠POT=2∠PTQ，
∠MO₁T=2∠PTQ，∠POT=∠MO₁T，OP∥O₁M，
∴$\frac{PM}{PT}$=$\frac{O{O}_{1}}{OT}$=$\frac{R-r}{R}$，
∴$\frac{PN}{PT}$=$\sqrt{\frac{R-r}{R}}$為定值．

點(diǎn)評 本題考查了切割線定理、弦切角定理、平行線的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．