Question

10．下列說法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，則實數(shù)b=2；
②f（x）=$\sqrt{2008-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-2008}$既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
③已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當x∈[0，+∞）時，f（x）=x（1+x），則當x∈R時，f（x）=x（1+|x|）；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數(shù)．
其中正確說法的序號是①②③④（注：把你認為是正確的序號都填上）．

Answer 1

分析 根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，逐一分析四個結(jié)論的真假，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：下列說法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，
則2a-1+a+4=0，2a+b=0，
解得：a=-1，b=2；故正確
②f（x）=$\sqrt{2008-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-2008}$=0，（x∈{-$\sqrt{2008}$，$\sqrt{2008}$}），
即滿足f（-x）=-f（x）恒成立，也滿足f（-x）=f（x）恒成立，
故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；故正確
③已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
若當x∈[0，+∞）時，f（x）=x（1+x），
則當x∈（-∞，0）時，f（x）=x（1-x），
則當x∈R時，f（x）=x（1+|x|）；故正確；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
由題意令x=y=1，可得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
令a=y=-1，可得f（1）=-f（-1）-f（-1），所以f（-1）=0；
令a=x，b=-1，所以f（-x）=x f（-1）-f（x）=-f（x）；
∴y=f（x）是奇函數(shù)． 故正確；
故答案為：①②③④

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的奇偶性判斷及應(yīng)用，難度中檔．