Question

4．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}={a_n}•{2^{2{a_n}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中項(xiàng)，可得$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，利用遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n是${a_n}^2$和a_n的等差中項(xiàng)，∴$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}$，
又$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}^2+{a_{n-1}}（n≥2）$，
兩式相減并化簡(jiǎn)得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
又a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
故數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．
當(dāng)n=1時(shí)，$2{a_1}=2{S_1}={a_1}^2+{a_1}$，又a₁＞0，∴a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）由（I）知b_n=n•2²ⁿ=n•4ⁿ，∴T_n=1•4¹+2•4²+…+n•4ⁿ，
∴4T_n=1•4²+2•4³+…+n•4ⁿ⁺¹，
兩式相減，得-3T_n=4¹+4²+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{4（1-4n）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{1-3n}{3}$×4ⁿ⁺¹-$\frac{4}{3}$．
∴T_n=$\frac{3n-1}{9}$×4ⁿ⁺¹+$\frac{4}{9}$=$\frac{4+（3n-1）4n+1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．