Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{a^{2x}}}}{{a+{a^{2x}}}}$（a＞0，a≠1），則f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）=$\frac{2015}{2}$．

Answer 1

分析 f（x）+f（1-x）=$\frac{{{a^{2x}}}}{{a+{a^{2x}}}}$+$\frac{{a}^{2（1-x）}}{a+{a}^{2（1-x）}}$=1，f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）=1，f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{2014}{2016}$）=1…，即可求得f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）的值．

解答 解：數(shù)f（x）=$\frac{{{a^{2x}}}}{{a+{a^{2x}}}}$（a＞0，a≠1），
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{{{a^{2x}}}}{{a+{a^{2x}}}}$+$\frac{{a}^{2（1-x）}}{a+{a}^{2（1-x）}}$，
=$\frac{{a}^{2x}（a+{a}^{2（1-x）}）+{a}^{2（1-x）}（a+{a}^{2x}）}{（a+{a}^{2x}）（a+{a}^{2（1-x）}）}$，
=$\frac{a（{a}^{2x}+{a}^{2（1-x）}）+2{a}^{2}}{{a}^{2}+a（{a}^{2x}+{a}^{2（1-x）}）+{a}^{2}}$，
=1，
f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）=1，f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{2014}{2016}$）=1…，
∴令M=f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$），
則M=f（$\frac{2015}{2016}$）+f（$\frac{2014}{2016}$）+…f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{1}{2016}$），
∴2M=2015，
∴M=$\frac{2015}{2}$，
故答案為：$\frac{2015}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，函數(shù)值的求解，考查冪函數(shù)的運(yùn)算法則，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．