Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*，a₁=3，
（1）求a₂-2，a₃-3，a₄-4的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果試猜測{a_n-n}是否為等比數(shù)列，證明你的結(jié)論，并求出{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n-n+1，對n分別取1，2，3，即可得出．
（2）猜測{a_n-n}為等比數(shù)列，下面證明：當n≥1時，a_n+1=2a_n-n+1，變形a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即可證明．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n-n+1，
∴a₂=2a₁-1+1=6，a₂-2=4；
a₃=2a₂-2+1=11，a₃-3=8；a₄=2a₃-3+1=20，a₄-4=16．
（2）猜測{a_n-n}為等比數(shù)列，下面證明：
當n≥1時，a_n+1-（n+1）=2a_n-n+1-（n+1）=2a_n-2n=2（a_n-n），
又a₁-1=2，則{a_n-n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴${a_n}-n={2^n}$，即${a_n}=n+{2^n}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義與通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．