Question

2．已知數(shù)列{an}的前n項和S_n滿足關(guān)系式：
S_n=（$\frac{1+{a}_{n}}{2}$）²且a_n＞0．
（1）寫出S_n與S_n-1（n≥2）的遞推關(guān)系式，并求出S_n關(guān)于n的表達式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ•S_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=（$\frac{1+{a}_{n}}{2}$）²且a_n＞0．可得S_n＞0．當(dāng)n=1時，${a}_{1}=（\frac{1+{a}_{1}}{2}）^{2}$，解得a₁．n≥2時，2$\sqrt{{S}_{n}}$=S_n-S_n-1+1，可得：$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=（-1）ⁿ•S_n=（-1）ⁿ•n²，對n分類討論，利用“分組求和”方法、等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=（$\frac{1+{a}_{n}}{2}$）²且a_n＞0．∴S_n＞0．
∴當(dāng)n=1時，${a}_{1}=（\frac{1+{a}_{1}}{2}）^{2}$，解得a₁=1．
n≥2時，2$\sqrt{{S}_{n}}$=S_n-S_n-1+1，可得：$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．
∴數(shù)列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，
可得S_n=n²．
（2）b_n=（-1）ⁿ•S_n=（-1）ⁿ•n²，
∴n=2k（k∈N^*）時，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=T_2k=（2²-1²）+（4²-3²）+…+[n²-（n-1）²]=（2+1）+（4+3）+…+[n+（n-1）]=$\frac{n（n+1）}{2}$．
n=2k-1（k∈N^*）時，數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=T_2k-1=T_2k-b_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$-（n+1）²=$\frac{-{n}^{2}-n}{2}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+1）}{2}，n=2k}\\{\frac{-{n}^{2}-n}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、分類討論、“分組求和”方法、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．