Question

16．設命題p：f（x）=$\frac{1}{x-m}$在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；命題q；x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根，不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|對任意實數(shù)，a∈[-1，1]恒成立；若（￢p）∧q為真命題，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：利用反比例函數(shù)的單調(diào)性可得：m≤1．命題q；利用根與系數(shù)的關系可得：|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+8}$．根據(jù)a∈[-1，1]，可得$\sqrt{{a}^{2}+8}$∈$[2\sqrt{2}，3]$．由不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|對任意實數(shù)，a∈[-1，1]恒成立，可得m²+5m-3≥3．由（￢p）∧q為真命題，可得p為假命題，q為真命題．

解答 解：命題p：f（x）=$\frac{1}{x-m}$在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，∴m≤1．
命題q；x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根，∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+8}$．
∵a∈[-1，1]，∴$\sqrt{{a}^{2}+8}$∈$[2\sqrt{2}，3]$．
由不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|對任意實數(shù)，a∈[-1，1]恒成立，
∴m²+5m-3≥3，即m²+5m-6≥0，解得m≥1或m≤-6．
∵（￢p）∧q為真命題，
∴p為假命題，q為真命題．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≥1或m≤-6}\end{array}\right.$，解得m＞1．
∴實數(shù)m的取值范圍是（1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．