Question

15．直線l與橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1相交于A?B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)為M（1，$\frac{1}{2}}$）．
（1）求直線l的方程（用一般式表示）；
（2）求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），兩點(diǎn)在橢圓上，可得x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4．兩式相減，再利用直線l的斜率，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得出．
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可得x²-4x=0，利用弦長公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵點(diǎn)M（1，$\frac{1}{2}}$）是線段AB的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=1．
∵此兩點(diǎn)在橢圓上，∴x₁²+4y₁²=4，x₂²+4y₂²=4．
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴k=-$\frac{1}{2}$．
∴直線l的方程為y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），化為x+2y-2=0．
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可得x²-4x=0，
∴x=0或4，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}•4$=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的綜合，考查弦中點(diǎn)問題，正確運(yùn)用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．