Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），且對任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₂∈[-1，2]，使f（x₂）=g（x₁），則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [3，+∞）
• B． （0，3]
• C． [$\frac{1}{2}$，3]
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 確定函數(shù)f（x）、g（x）在[-1，2]上的值域，根據(jù)對任意的x₁∈[-1，2]都存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂），可g（x）值域是f（x）值域的子集，從而得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²-2x的圖象是開口向上的拋物線，且關(guān)于直線x=1對稱
∴x₁∈[-1，2]時，f（x）的最小值為f（1）=-1，最大值為f（-1）=3，
可得f（x₁）值域為[-1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x₂∈[-1，2]，
∴g（x）為單調(diào)增函數(shù)，g（x₂）值域為[g（-1），g（2）]
即g（x₂）∈[2-a，2a+2]
∵對任意的x₁∈[-1，2]都存在x₂∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₂）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-a≥-1}\\{2a+2≤3}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
∴0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是對“任意”、“存在”的理解．