Question

2．如圖，四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=1，SD=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求證：CD⊥SD；
（Ⅱ）求SB與面SCD成的線面角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)SE，DE，則四邊形BCDE是矩形，于是CD⊥DE，由等邊三角形得SE⊥AB，故SE⊥CD，于是CD⊥平面SDE，得出CD⊥SD；
（II）利用勾股定理的逆定理可證SE⊥DE，故而SE⊥平面BCDE，以E為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{SB}$和平面SCD的法向量$\overrightarrow{n}$，則|cos＜$\overrightarrow{SB}，\overrightarrow{n}$＞|即為所求．

解答 證明：（I）取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)SE，DE．
∵CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}AB$=BE，BC⊥CD，
∴四邊形BCDE是矩形，
∴CD⊥DE．
∵SA=SB，E是AB的中點(diǎn)，∴SE⊥AB．
∴SE⊥CD．
又DE，SE?平面SDE，DE∩SE=E，
∴CD⊥平面SDE，∵SD?平面SDE，
∴CD⊥SD．
（II）∵△SAB是邊長為2的等邊三角形，∴BE=1，SE=$\sqrt{3}$，
∵四邊形BCDE是矩形，∴DE=BC=2，
∴SE²+DE²=SD²，∴SE⊥DE，
∴SE⊥平面ABCD．
以E為原點(diǎn)，以ED，EB，ES為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz，如圖所示：
則S（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，0），C（2，1，0），D（2，0，0）．
∴$\overrightarrow{SB}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，0），$\overrightarrow{SD}$=（2，0，-$\sqrt{3}$）．
設(shè)平面SCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0$，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=0$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-y=0}\\{2x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，2），
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}$=-2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow{SB}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{SB}|}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴SB與面SCD成的線面角的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．