Question

16．如圖，某工廠根據(jù)生產(chǎn)需要制作一種下部是圓柱、上部是圓錐的封閉型組合體存儲設(shè)備，該組合體總高度為8米，圓柱的底面半徑為4米，圓柱的高不小于圓柱的底面半徑．已知制作圓柱側(cè)面和底面的造價均為每平米2百元，制作圓錐側(cè)面的造價為每平米4百元，設(shè)制作該存儲設(shè)備的總費用為y百元．
（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)OO₁=h（米），將y表示成h的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)∠SDO₁=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請你選用其中的一個函數(shù)關(guān)系式，求制作該存儲設(shè)備總費用的最小值．

Answer 1

分析 （1）分別用h，θ表示出圓錐的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積和底面積，得出y關(guān)于h（或θ）的關(guān)系式；
（2）求導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最小值．

解答 解：（1）①當OO₁=h時，SO₁=8-h，SC=$\sqrt{S{{O}_{1}}^{2}+{O}_{1}{C}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}-16h+80}$，
S_圓柱底=π×4²=16π，S_{圓柱側(cè)}=2π×4×h=8πh，S_{圓錐側(cè)}=π×4×$\sqrt{{h}^{2}-16h+80}$．
∴y=2（S_圓柱底+S_{圓柱側(cè)}）+4S_{圓錐側(cè)}=32π+16πh+16π$\sqrt{{h}^{2}-16h+80}$（h≥4）．
②若∠SDO₁=θ，則SO₁=4tanθ，SD=$\frac{4}{cosθ}$．∴OO₁=8-4tanθ．
∵OO₁≥4，∴0＜tanθ≤1．∴0$＜θ≤\frac{π}{4}$．
∴S_圓柱底=π×4²=16π，S_{圓柱側(cè)}=2π×4×（8-4tanθ）=64π-32πtanθ，S_{圓錐側(cè)}=π×4×$\frac{4}{cosθ}$=$\frac{16π}{cosθ}$．
∴y=2（S_圓柱底+S_{圓柱側(cè)}）+4S_{圓錐側(cè)}=32π+128π-64πtanθ+$\frac{64π}{cosθ}$=160π+64π（$\frac{1-sinθ}{cosθ}$）．
（2）選用y=160π+64π（$\frac{1-sinθ}{cosθ}$），則y′（θ）=64π$\frac{sinθ-1}{co{s}^{2}θ}$＜0，
∴y（θ）在（0，$\frac{π}{4}$]上是減函數(shù)，
∴當$θ=\frac{π}{4}$時．y取得最小值y（$\frac{π}{4}$）=160π+64π×$\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=96π+64$\sqrt{2}$π．
∴制作該存儲設(shè)備總費用的最小值為96π+64$\sqrt{2}$π．

點評 本題考查了圓柱，圓錐的側(cè)面積計算，導數(shù)在最值的應(yīng)用，屬于中檔題．