Question

已知函數(shù)f（x）=

3 tanwx+1

tan2wx+1

．
（1）若f（x+

π

2

）=-f（x），求f（x）的單調(diào)增區(qū)間
（2）若f（-x）=f（

2π

3

+x），0＜w＜2，求w的值
（3）若f（x）在[-

3π

2

，

π

2

]上單調(diào)遞增，求W的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正切函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)解析式可得f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，由f（x+π）=f（x），可得T=π，從而解得ω，得到解析式f（x）=sin（4x+

π

6

）+

1

2

，從而可求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由f（x+

4π

3

）=f（x），可求周期，繼而可求ω的值．
（3）由題意知，

π

2

-（-

3π

2

）≤

T

2

，可解得ω=

2π

T

≤

1

2

．

解答： 解：（1）f（x）=

3 tanwx+1

tan2wx+1

=

3 sinωx cosωx +1

sin2ωx cos2ωx +1

=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
∵f（x+π）=f[（x+

π

2

）+

π

2

]=-[-f（x）]=f（x），
∴T=π，
∴ω=1，即有f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∴令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
（2）∵f（x+

4π

3

）=f[（x+

2π

3

）+

2π

3

]=f[-（x+

2π

3

）]=f[-（-x）]=f（x），
∴T=

2π

2ω

=

4π

3

，
∴ω=

3

4

．
（3）∵由題意知，f（x）在[-

3π

2

，

π

2

]上單調(diào)遞增，則有：

π

2

-（-

3π

2

）≤

T

2

，
∴T≥4π，
∴ω=

2π

T

≤

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考察了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．