Question

17．如圖，三棱錐D-ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，DB=DC=$\sqrt{5}$，DA=3，
（1）求證：DA⊥BC
（2）求二面角D-BC-A的余弦值．
（3）棱AC上是否存在點(diǎn)E，使DE與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{1}{6}$？若存在，求出$\frac{AE}{AC}$的值；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)為M，連結(jié)DM，AM，推導(dǎo)出BC⊥AM，BC⊥DM，由此能證明BC⊥平面ADM，從而DA⊥BC．
（2）以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，過(guò)A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-BC-A的余弦值．
（3）設(shè)$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{AC}$，（0≤λ≤1），則$\overrightarrow{AE}$=（2λ，0，0），求出平面DCB的一個(gè)法向量，由DE與平面BCD所成角θ的正弦值為$\frac{1}{6}$，利用向量法能求出棱AC上存在這樣的點(diǎn)E，此時(shí)$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

解答 證明：（1）取BC中點(diǎn)為M，連結(jié)DM，AM，
∵AB=AC，DB=DC，∴BC⊥AM，BC⊥DM，
又AM∩DM=M，∴BC⊥平面ADM，
∵AD?平面ADM，∴DA⊥BC．
解：（2）由題意AB⊥AC，以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，
過(guò)A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），設(shè)D（a，b，c），（c＞0）
則$\left\{\begin{array}{l}{D{B}^{2}={a}^{2}+（b-2）^{2}+{c}^{2}=5}\\{D{C}^{2}=（a-2）^{2}+^{2}+{c}^{2}=5}\\{D{A}^{2}={a}^{2}+^{2}+{c}^{2}=9}\end{array}\right.$，解得a=2，b=2，c=1，
即D（2，2，1），$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BD}$=（2，0，1），
設(shè)平面DCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=2x-2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-2），
平面ABC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵二面角D-BC-A的平面角為鈍角，
∴二面角D-BC-A的余弦值為-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）若存在這樣的點(diǎn)E，設(shè)$\overrightarrow{AE}$=$λ\overrightarrow{AC}$，（0≤λ≤1），則$\overrightarrow{AE}$=（2λ，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$=（2λ-2，-2，-1），
由（2）得平面DCB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，1，-2），
∵DE與平面BCD所成角θ的正弦值為$\frac{1}{6}$，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{6}$，即$\frac{|2λ-2|}{\sqrt{6}•\sqrt{（2λ-2）^{2}+5}}$=$\frac{1}{6}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$或$λ=\frac{3}{2}$（舍），
∴棱AC上存在這樣的點(diǎn)E，此時(shí)$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的判斷與求法，是中檔題，注意向量法的合理運(yùn)用．