Question

17．已知{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，b_n=na_n，則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（n-1）2ⁿ+1．．

Answer 1

分析 首先利用已知得到關(guān)于等比數(shù)列的首項(xiàng)的等式，求出首項(xiàng)，然后得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)其特點(diǎn)，利用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答 解：由已知{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，
所以6a₂=a₁+a₃+7，即12a₁=a₁+4a₁+7，解得a₁=1，
所以${a}_{n}={2}^{n-1}$，
b_n=na_n=n2^n-1，
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1+2•2+3•2²+4•2³+…+n2^n-1，①
2T_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n-1）2^n-1+n2ⁿ，②
①-②得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}-n{2}^{n}$，
所以T_n=（n-1）2ⁿ+1．
故答案為：（n-1）2ⁿ+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求法以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和．