Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x（x²-bx）（b∈R）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{8}{3}$）
• B． （-∞，$\frac{5}{6}$）
• C． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$）
• D． （$\frac{8}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)得到不等式成立問(wèn)題，然后求解b的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上存在單調(diào)增區(qū)間，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上存在子區(qū)間使得不等式f′（x）＞0成立．
f′（x）=e^x[x²+（2-b）x-b]，
設(shè)h（x）=x²+（2-b）x-b，則h（2）＞0或h（$\frac{1}{2}$）＞0，
即4+2（2-b）-b＞0或$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$（2-b）-b＞0，
得b＜$\frac{8}{3}$．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，不等式的解法，考查計(jì)算能力．